Question

已知函數f(x)＝lg(x＋－2)，其中a是大于零的常數．

(1)求函數f(x)的定義域．

(2)當a∈(1，4)時，求函數f(x)在[2，＋∞)上的最小值．

(3)若對任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)＞0，試確定a的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由x＋－2＞0得＞0(*)，方程x2－2x＋a＝0的根的判別式Δ＝4(1－a)，當a＞1時，Δ＜0，x2－2x＋a＞0恒成立，則由(*)知x＞0；當0＜a≤1時，Δ≥0，x2－2x＋a＝[x－(1－)]·[x－(1＋)]， 　　(*)為＞0，；當0＜a≤1時，f(x)的定義域為(0，1－)∪(1＋，＋∞)；當a＞1時，f(x)的定義域為(0，＋∞)． 　　(2)當1＜a＜4時令g(x)＝x＋，設2≤x1＜x2，則g(x1)－g(x2)＝(x1＋)－(x2＋)＝(x1－x2)(1－)． 　　因為2≤x1＜x2，所以x1x2＞4．即＜．因為1＜a＜4，所以＜1．所以1－＞0．所以(x1－x2)(1－)＜0，所以g(x1)＜g(x2)，所以g(x)在[2，＋∞)為增函數．所以f(x)在[2，＋∞)為增函數．所以f(x)min＝f(2)＝lg． 　　(3)解法一： 　�、偃�0＜a≤1，則當x＝2時，f(2)＝lg(2＋－2)＝lg＜0不滿足題設條件． 　　當1＜a＜4，由(2)知亦使對任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)＞0只要f(2)＞0即lg＞0，a＞2，所以2＜a＜4． 　�、诋攁≥4時，f(x)＝lg(x＋－2)≥lg(2－2)＝lg(2－2)． 　　當x＝即x＝≥2時，[f(x)]min＝lg(2－2)≥lg2＞0，所以a≥4時滿足對任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)＞0．綜上所述，當a＞2時對任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)＞0． 　　解法二： 　　因為f(x)＝lg(x＋－2)＞0，所以x＋－2＞1．所以a＞3x－x2，x∈[2，＋∞)恒成立．而y＝3x－x2，x∈[2，＋∞)為減函數．所以它的最大值為2．所以a＞2．