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【題目】已知動圓M與直線相切，且與圓N：外切

（1）求動圓圓心M的軌跡C的方程；

（2）點O為坐標原點，過曲線C外且不在y軸上的點P作曲線C的兩條切線，切點分別記為A，B，當直線與的斜率之積為時，求證：直線過定點.

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）直接利用直線與圓的位置關系式，圓和圓的位置關系式的應用求出結果．

（2）利用直線與曲線的相切和一元二次方程根和系數關系式的應用求出結果．

（1）設動圓圓心M（x，y），

由于圓M與直線y=-1相切，且與圓N：外切．

利用圓心到直線的距離和圓的半徑和圓心距之間的關系式，

可知C的軌跡方程為：

（2）設直線：，，，

因為，，所以兩條切線的斜率分別為，，

則直線的方程是，

直線的方程是.

兩個方程聯立得P點坐標為，

，

，由聯立得：

，

故直線過定點.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數.

（1）當時，求函數的單調區間；

（2）若存在，且，使得，求證： .

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某小學六年級學生的進行一分鐘跳繩檢測，現一班二班各有50人，根據檢測結果繪出了一班的頻數分布表和二班的頻率分布直方圖.

一班檢測結果頻數分布表：

跳繩個數區間

頻數

7

13

20

8

2

（1）根據給出的圖表估計一班和二班檢測結果的中位數（結果保留兩位小數）；

（2）跳繩個數不小于100個為優秀，填寫下面2×2列聯表，并根據列聯表判斷是否有95%的把握認為檢測結果是否優秀與班級有關.

一班

二班

合計

優秀

不優秀

合計

參考公式及數據：，

0.100

0.050

0.010

2.706

3.841

6.635

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C：1（a＞b＞0）的離心率為，O是坐標原點，點A，B分別為橢圓C的左右頂點，|AB|＝4．

（1）求橢圓C的標準方程．

（2）若P是橢圓C上異于A，B的一點，直線l交橢圓C于M，N兩點，AP∥OM，BP∥ON，則△OMN的面積是否為定值？若是，求出定值，若不是，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】為了保障全國第四次經濟普查順利進行，國家統計局從東部選擇江蘇，從中部選擇河北、湖北，從西部選擇寧夏，從直轄市中選擇重慶作為國家綜合試點地區，然后再逐級確定普查區域，直到基層的普查小區，在普查過程中首先要進行宣傳培訓，然后確定對象，最后入戶登記，由于種種情況可能會導致入戶登記不夠順利，這為正式普查提供了寶貴的試點經驗，在某普查小區，共有50家企事業單位，150家個體經營戶，普查情況如下表所示：

普查對象類別

順利

不順利

合計

企事業單位

40

10

50

個體經營戶

100

50

150

合計

140

60

200

（1）寫出選擇5個國家綜合試點地區采用的抽樣方法；

（2）根據列聯表判斷是否有的把握認為“此普查小區的入戶登記是否順利與普查對象的類別有關”；

（3）以該小區的個體經營戶為樣本，頻率作為概率，從全國個體經營戶中隨機選擇3家作為普查對象，入戶登記順利的對象數記為，寫出的分布列，并求的期望值．

附：

0.10

0.010

0.001

2.706

6.635

10.828

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】為方便市民出行，倡導低碳出行.某市公交公司推出利用支付寶和微信掃碼支付乘車活動，活動設置了一段時間的推廣期，在推廣期內采用隨機優惠鼓勵市民掃碼支付乘車.該公司某線路公交車隊統計了活動推廣期第一周內使用掃碼支付的情況，其中（單位：天）表示活動推出的天次，（單位：十人次）表示當天使用掃碼支付的人次，整理后得到如圖所示的統計表1和散點圖.

表1：

x

第1天

第2天

第3天

第4天

第5天

第6天

第7天

y

7

12

20

33

54

90

148

（1）由散點圖分析后，可用作為該線路公交車在活動推廣期使用掃碼支付的人次關于活動推出天次的回歸方程，根據表2的數據，求此回歸方程，并預報第8天使用掃碼支付的人次（精確到整數）.

表2：

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4

52

3.5

140

2069

112

表中，.

（2）推廣期結束后，該車隊對此期間乘客的支付情況進行統計，結果如表3.

表3：

支付方式

現金

乘車卡

掃碼

頻率

10%

60%

30%

優惠方式

無優惠

按7折支付

隨機優惠(見下面統計結果)

統計結果顯示，掃碼支付中享受5折支付的頻率為，享受7折支付的頻率為，享受9折支付的頻率為.已知該線路公交車票價為1元，將上述頻率作為相應事件發生的概率，記隨機變量為在活動期間該線路公交車搭載乘客一次的收入（單位：元），求的分布列和期望.

參考公式：對于一組數據，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為參考數據：，，.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某地有A，B、C、D四人先后感染了新型冠狀病毒，其中只有A到過疫區，B肯定是受A感染的，對于C，因為難以判定他是受A還是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是，同樣也假設D受A、B和C感染的概率都是.在這種假定之下，B、C、D中直接受A感染的人數X就是一個隨機變量，寫出X的可能取值為______，并求X的均值（即數學期望）為______.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某種賭博每局的規則是：賭客先在標記有1，2，3，4，5的卡片中隨機摸取一張，將卡片上的數字作為其賭金；隨后放回該卡片，再隨機摸取兩張，將這兩張卡片上數字之差的絕對值的1.4倍作為其獎金．若隨機變量ξ1和ξ2分別表示賭客在一局賭博中的賭金和獎金，則D（ξ1）＝_____，E（ξ1）﹣E（ξ2）＝_____．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知曲線C的參數方程為（t為參數），以原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，過極點的兩射線、相互垂直，與曲線C分別相交于A、B兩點（不同于點O），且的傾斜角為銳角.

（1）求曲線C和射線的極坐標方程；

（2）求△OAB的面積的最小值，并求此時的值．

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