Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為正方形， 底面， ， ， 為棱中點.

（1）求證： 平面；

（2）求四棱錐外接球的體積.

Answer 1

【答案】(I) 見解析;(II) ．

【解析】試題分析：（1）證明線面垂直，一般利用線面垂直判定定理，即從線線垂直出發給予證明，而線線垂直的尋找與論證，往往從兩個方面進行，一是利用條件中的線面垂直性質定理得到線線垂直，二是利用平幾知識，如等腰三角形性質得到線線垂直，(2)求球的體積關鍵在于確定球心,根據直角三角形的性質可確定外接球球心為線段和線段的垂直平分線交點,再根據勾股定理求半徑,最后代入球體積公式即可.

試題解析：(I)證明：∵底面， 底面，

∴，又∵底面為矩形，∴， ， 平面， 平面，

∴平面，又平面，∴， ， 為中點，∴， ， 平面， 平面，∴平面.

(II)法一：四棱錐外接球球心在線段和線段的垂直平分線交點，

由已知，

設為中點，∴，∴，

∴四棱錐外接球是．

法二：四棱錐外接球和過的長方體外接球相同，

球心在對角線的中點

由已知對角線，

∴球的半徑為3，

∴四棱錐外接球是．