Question

【題目】已知函數 （其中a為非零實數），且方程 有且僅有一個實數根． （Ⅰ）求實數a的值；
（Ⅱ）證明：函數f（x）在區間（0，+∞）上單調遞減．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由 ，得 ， 又a≠0，即二次方程ax2﹣4x+4﹣a=0有且僅有一個實數根（且該實數根非零），
所以△=（﹣4）2﹣4a（4﹣a）=0，
解得a=2（此時實數根非零）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：函數解析式 ，
任取0＜x1＜x2 ，
則f（x1）﹣f（x2）
=
= ，
∵0＜x1＜x2 ， ∴x2﹣x1＞0，2+x1x2＞0，x1x2＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
∴函數f（x）在區間（0，+∞）上單調遞減．
【解析】（Ⅰ）根據二次函數的性質得到△=0，求出a的值即可；（Ⅱ）根據函數單調性的定義證明函數的單調性即可．