Question

【題目】若正項數列的前項積為，記.

（1）若為等比數列，公比為，為等差數列，求的值；

（2）設當時，若存在唯一的正整數，使得成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由為等比數列，列出通項公式，可得和，又為等差數列，故可代入求得的值。（2）先判斷，再構造數列代入等式，可得最后求得的最大值和次大值，又對于有唯一正整數解求的取值范圍.

（1）由題得，為等比數列，則,前項乘積為，.

又為等差數列，則，即，由，故，解得：.

（2）反證:若，下面要證明

由題意，代入得：.即當時命題成立

設時命題成立，即，則有，推知，即時命題成立.

于是有，與題中條件矛盾.

故假設不成立，.

等式兩邊同時乘以可以得到：，設，于是有.

由題中條件得，所以

故，則，，故，所以.

，當為偶數時，，當為奇數時，.

構造函數，則.

當時，單調遞增；當時，單調遞減.

的單調性與的相同，所以在單調遞增，在時單調遞減.

當為奇數時，最大值只有和兩個，顯然，故最大值為.

次大值在和中，顯然，故次大值為.

故若存在唯一的正整數，使得成立，則.