Question

【題目】如圖，橢圓：的右焦點為，右頂點、上頂點分別為點，

已知橢圓的焦距為，且.

（1）求橢圓的方程；

（2）若過點的直線交橢圓于兩點，當面積取得最大時，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】試題（1）由橢圓的焦距為可得，再由兩點的距離公式，結合的關系，解得，進而得到橢圓方程；（2）設直線的方程為，代入橢圓方程，運用韋達定理和判別式大于零，以及弦長公式，點到直線的距離公式和三角形的面積公式，結合基本不等式成立的條件即可得到直線方程.

試題解析：（1）橢圓的焦距為，所以，

由已知，即，

，，

所以，

橢圓方程為

（2）解：由題意知直線的斜率存在，設直線的方程為

由，消去得關于的方程：

由直線與橢圓相交于兩點，解得

又由韋達定理得

原點到直線的距離

.

令，則

當且僅當即時，

此時.

所以，所求直線方程為.

【方法點晴】本題主要考查待定系數求橢圓方程以及直線與橢圓的位置關系和三角形面積公式，屬于難題.用待定系數法求橢圓方程的一般步驟；①作判斷：根據條件判斷橢圓的焦點在軸上，還是在軸上，還是兩個坐標軸都有可能；②設方程：根據上述判斷設方程或 ；③找關系：根據已知條件，建立關于、、的方程組；④得方程：解方程組，將解代入所設方程，即為所求.