Question

【題目】已知函數在處取得極小值.

（1）求實數的值；

（2）設，其導函數為，若的圖象交軸于兩點且，設線段的中點為，試問是否為的根？說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）不是的根.

【解析】試題分析：（1）先求導數,再根據，解得，最后列表驗證（2）即研究是否成立,因為,利用，

得,所以=0,轉化為.其中，最后利用導數研究函數單調性,確定方程解的情況

試題解析：（1）因為，

所以，

因為函數在處取得極小值，

所以，即，

所以，

所以，

當時， ，當 時，

所以在上單調遞減，在上單調遞增.

所以在處取得極小值，符合題意.

所以.

（2）由（1）知函數.

∵函數圖象與軸交于兩個不同的點，（ ），

∴，

.

兩式相減得

.

.

下解.

即.

令，∵，∴，

即.

令，

.

又，∴，

∴在上是増函數，則，

從而知，

故，即不成立.

故不是的根.