Question

【題目】若存在常數，使對任意的，都有，則稱數列為數列.

（1）已知是公差為2的等差數列，其前n項和為.若是數列，求的取值范圍；

（2）已知數列的各項均為正數，記數列的前n項和為，數列的前n項和為，且.

①求證：數列是等比數列；

②設，試證明：存在常數，對于任意的，數列都是數列.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①證明見解析；②證明見解析.

【解析】

（1）寫出，通過恒成立，即可求解；

（2）①由題求出首項，根據，，兩式相減，得出遞推關系即可得證；②求出通項公式，根據定義建立不等式求解最值.

（1）由題可得：，是數列，

恒成立，對任意的恒成立，

對任意的恒成立，

所以；

（2）①由題：，，兩式相減得：

，

，數列的各項均為正數，

所以，

，兩式相減得：

，，

當n=1時，可得，數列的各項均為正數，

所以

當n=2時，可得，

所以=4

綜上可得：數列是以2為首項，2為公比的等比數列；

②由①可得：，，

，對任意的恒成立，

，，

，對于任意m<0該不等式恒成立，

即存在常數，對于任意的，數列都是數列.