Question

（2007•閔行區一模）已知函數f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A＞0，0＜ω＜2，|φ|＜

π

2

)的一系列對應值如下表：

x	- π 6	π 3	5π 6	4π 3	11π 6	7π 3	17π 6
y	-1	1	3	1	-1	1	3

（1）根據表格提供的數據求函數y=f（x）的解析式；
（2）（文）當x∈[0，2π]時，求方程f（x）=2B的解．
（3）（理）若對任意的實數a，函數y=f（kx）（k＞0），x∈(a，a+

2π

3

]的圖象與直線y=1有且僅有兩個不同的交點，又當x∈[0，

π

3

]時，方程f（kx）=m恰有兩個不同的解，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知中表格中提供的數據，我們可以判斷出函數的最值及周期，進而A，B與最值的關系，ω與周期的關系，確定出A，B，ω的值，代入最大值點的坐標后，即可求出φ的值，進而得到函數的解析式．
（2）由（1）中所得的B值，我們可以構造出一個三角方程，根據正弦函數的性質及已知中x∈[0，2π]，可求出對應的x值，得到答案．
（3）若函數y=f（kx）（k＞0），x∈(a，a+

2π

3

]的圖象與直線y=1有且僅有兩個不同的交點，則函數的周期為

2π

3

，又由當x∈[0，

π

3

]時，方程f（kx）=m恰有兩個不同的解，我們可以構造出一個關于m的不等式，解不等式即可得到實數m的取值范圍．

解答：解：（1）依題意，T=

2π

ω

=2[

5π

6

-(-

π

6

)]，∴ω=1（2分）
又

B+A=3 B-A=-1

，解得

A=2 B=1

（5分）
f(

5π

6

)=2sin(

5π

6

+φ)=3，|φ|＜

π

2

，解得φ=-

π

3

（7分）
∴f(x)=2sin(x-

π

3

)+1為所求．（8分）
（2）文：由f（x）=2B，得sin(x-

π

3

)=

1

2

（10分）
∵x∈[0，2π]，∴-

π

3

≤x-

π

3

≤

5π

3

（12分）
∴x-

π

3

=

π

6

或x-

π

3

=

5π

6

，即x=

π

2

，x=

7π

6

為所求．（14分）
（3）理：由已知條件可知，函數y=f(kx)=2sin(kx-

π

3

)+1的周期為

2π

3

，
又k＞0，∴k=3（10分）
令t=3x-

π

3

，∵x∈[0，

π

3

]，
∴t=3x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]
而sint在[-

π

3

，

π

2

]上單調遞增，在[

π

2

，

2π

3

]上單調遞減，且sin

π

3

=sin

2π

3

=

3

2

，
如圖∴sint=s在[-

π

3

，

2π

3

]上有兩個不同的解的充要條件是s∈[

3

2

，1)，（12分）
∴方程f（x）=m恰有兩個不同的解的充要條件是m∈[

3

+1，3)．（14分）
（注：單調區間寫成[-

π

2

，

π

2

]、[

π

2

，

3π

2

]也行；直接數形結合得到正確結果，也可）

點評：本題考查的知識點是正弦型函數解析式的求法，三角方程的解法，正弦函數的圖象和性質，其中（1）的關鍵是熟練掌握正弦型函數解析式中參數與函數性質的關系，（2）的關鍵是熟練掌握正弦型函數的性質，（3）的關鍵是將已知，結合正弦函數的性質，轉化為一個關于m的不等式．