Question

【題目】已知函數且.

（1）討論函數的極值；

（2）若，求函數在區間上的最值.

Answer 1

【答案】（1）當時，極大值，不存在極小值；當時，極小值，不存在極大值；

（2）當時，最大值為，最小值為；

當時，最大值為，最小值為；

當時，最大值為，最小值為；

當時，最大值為，最小值為；

當時，最大值為，最小值為.

【解析】

（1）對函數求導，利用導數分類研究函數的單調性，進而得到極值．

（2）對a分類討論，分別研究極值點與區間端點的關系，利用導數研究函數單調性極值與最值，即可得出結論．

（1）因為，

所以，

討論：

當時，令，得，令，得，

所以當時，函數在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，

所以當時，函數存在極大值，不存在極小值

當時，令，得，令，得，

所以當時，函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，

所以當時，函數存在極小值，不存在極大值.

（2）據（1）求解知，當時，函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，

討論：

當，即時，函數在區間上單調遞減，

所以函數在區間上的最大值，最小值；

當，即時，函數在區間上單調遞增，

所以函數在區間上的最大值，最小值；

當，即時，函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，

所以函數在區間上的最小值，最大值為與的較大者.

下面比較與的大小：

令，得，化簡得，

所以或.

又，

所以，

所以當時，，函數在區間上的最大值；

所以當時，，函數在區間上的最大值；

所以當時，，函數在區間上的最大值；

綜上，當時，函數在區間上的最大值為，最小值為；

當時，函數在區間上的最大值為，最小值為；

當時，函數在區間上的最大值為，最小值為；

當時，函數在區間上的最大值為，最小值為；

當時，函數在區間上的最大值為，最小值為.