Question

【題目】已知橢圓的左右頂點分別為，左焦點為，已知橢圓的離心率為，且過點.

（1）求橢圓的方程；

（2）若過點的直線與該橢圓交于兩點，且線段的中點恰為點，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由離心率及橢圓過點，列出關于的方程求解即可；

（2）設P（xP，yP），Q（xQ，yQ），將兩點代入橢圓方程，進而兩式作差可得，進而由點斜式可得解.

（1）因為e＝＝＝，則3a2＝4b2，

將（1，）代入橢圓方程： +＝1，解得：a＝2，b＝，

所以橢圓方程為+＝1；

（2）設P（xP，yP），Q（xQ，yQ），

∵線段PQ的中點恰為點N，

∴xP+xQ＝2，yP+yQ＝2，

∵+＝1， +＝1，兩式相減可得（xP+xQ）（xP﹣xQ）+（yP+yQ）（yP﹣yQ）＝0，

∴＝﹣，

即直線PQ的斜率為﹣，

∴直線PQ的方程為y﹣1＝﹣（x﹣1），即3x+4y﹣7＝0.