Question

【題目】已知極點與平面直角坐標系的原點重合，極軸與軸的正半軸重合，直線的參數方程為（是參數），曲線的極坐標方程為．

（1）求直線的普通方程與曲線的直角坐標方程；

（2）設直線與曲線交于，兩點，點為曲線上一點，求使面積取得最大值時的點坐標．

Answer 1

【答案】（1）；．（2）

【解析】

（1）利用加減相元法把直線的參數方程化為普通方程，根據極坐標方程與直角方程互化公式把曲線的極坐標方程化成直角坐標方程；

（2）由題知線段的長度為定值，若使面積取得最大值，只需點到直線的距離最大．根據橢圓的參數方程表示點的坐標，根據點到直線距離，結合輔助角公式進行求解即可.

（1）直線的參數方程消參，得普通方程為；

將代入曲線的極坐標方程，

得曲線的直角坐標方程為．

（2）由題知線段的長度為定值，若使面積取得最大值，只需點到直線的距離最大．

因為點在曲線上，所以設，

則點到直線的距離為

，

其中，．當且僅當時，等號成立．

此時，，即．