已知橢圓
的中心在原點，焦點在
軸上，離心率為
，它的一個焦點恰好與拋物線
的焦點重合.
求橢圓的方程；
設橢圓的上頂點為
，過點作橢圓的兩條動弦
，若直線斜率之積為
，直線
是否一定經過一定點?若經過，求出該定點坐標；若不經過，請說明理由.
（1）
；（2）恒過一定點
.
解析試題分析：（1）可設橢圓方程為
,因為橢圓的一個焦點恰好與拋物線的焦點重合，所以
，又
，所以
，又因
，得
，所以橢圓方程為；
（2）由（1）知
，當直線的斜率不存在時，可設
，設
，則
，
易得
，不合題意；故直線的斜率存在.設直線的方程為：
，(
)，并代入橢圓方程，得：
①，設
，則
是方程①的兩根，由韋達定理
，由
，利用韋達定理代入整理得
，又因為，所以
，此時直線的方程為
，即可得出直線的定點坐標.
（1）由題意可設橢圓方程為,
因為橢圓的一個焦點恰好與拋物線的焦點重合，所以，
又，所以，
又因，得，
所以橢圓方程為；
（2）由（1）知，
當直線的斜率不存在時，設，設，則，
，不合題意.
故直線的斜率存在.設直線的方程為：，()，并代入橢圓方程，得： ①
由
得
②
設，則是方程①的兩根，由韋達定理，
由得：
，
即
，整理得，
又因為，所以，此時直線的方程為.
所以直線恒過一定點
考點：橢圓的標準方程；圓錐曲線的定點問題.
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知拋物線C：
的焦點為F，直線
與y軸的交點為P，與C的交點為Q，且
.
（1）求C的方程；
（2）過F的直線
與C相交于A，B兩點，若AB的垂直平分線
與C相較于M，N兩點，且A，M，B，N四點在同一圓上，求的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
在平面直角坐標系
中，原點為
,拋物線
的方程為
,線段
是拋物線的一條動弦．
(1)求拋物線的準線方程和焦點坐標
;
(2)若
,求證：直線恒過定點；
(3)當
時，設圓
,若存在且僅存在兩條動弦,滿足直線與圓
相切，求半徑
的取值范圍？
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
（2011•山東）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓
．如圖所示，斜率為k（k＞0）且不過原點的直線l交橢圓C于A，B兩點，線段AB的中點為E，射線OE交橢圓C于點G，交直線x=﹣3于點D（﹣3，m）．
（1）求m2+k2的最小值；
（2）若|OG|2=|OD|?|OE|，
（i）求證：直線l過定點；
（ii）試問點B，G能否關于x軸對稱？若能，求出此時△ABG的外接圓方程；若不能，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓C:
的離心率為
,短軸一個端點到右焦點的距離為
．
(1)求橢圓C的方程；
(2)設直線
與橢圓C交于A、B兩點，以
弦為直徑的圓過坐標原點
，試探討點到直線的距離是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
在平面直角坐標系xOy中，已知點A(0,-1)，B點在直線y = -3上，M點滿足
， 
，M點的軌跡為曲線C。
（1）求C的方程；
（2）P為C上的動點，l為C在P點處得切線，求O點到l距離的最小值。
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設橢圓C1：
=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為為
，
恰是拋物線C2：
的焦點，點M為C1與C2在第一象限的交點，且｜MF2｜=
．
（1）求C1的方程；
（2）平面上的點N滿足
，直線l∥MN，且與C1交于A，B兩點，若
，求直線l的方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，已知
，
，
，
分別是橢圓
的四個頂點，△
是一個邊長為2的等邊三角形，其外接圓為圓
．
（1）求橢圓
及圓
的方程；
（2）若點
是圓
劣弧
上一動點（點異于端點
，
），直線
分別交線段
，橢圓于點，，直線
與
交于點
．
（ⅰ）求
的最大值；
（ⅱ）試問：.
.，
兩點的橫坐標之和是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．
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，
、
是橢圓的左右焦點，且橢圓經過點
.
且傾斜角等于
的直線
，交橢圓于
、
兩點，求
的面積.