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【題目】已知為直角梯形，，平面，，.

（1）求證：平面；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

建立空間直角坐標系.

（1）方法一，利用向量的方法，通過計算，，證得，，由此證得平面.

方法二，利用幾何法，通過平面證得，結合證得，由此證得平面.

（2）通過平面和平面的法向量，計算出平面與平面所成銳二面角的余弦值.

如圖，以為原點建立空間直角坐標系，

可得，，，.

（1）證明法一：因為，，，

所以，，

所以，，，平面，平面，

所以平面.

證明法二：因為平面，平面，所以，又因為，即，，平面，平面，

所以平面.

（2）由（1）知平面的一個法向量，

設平面的法向量，

又，，

且

所以

所以平面的一個法向量為，

所以，

所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知坐標平面上動點與兩個定點， ，且.

（1）求點的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形；

（2）記（1）中軌跡為，過點的直線被所截得的線段長度為8，求直線的方程.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】電視傳媒公司為了解某地區電視觀眾對某類體育節目的收視情況，隨機抽取了100名觀眾進行調查，下面是根據調查結果繪制的觀眾日均收看該體育節目時間的頻率分布直方圖，將日均收看該體育節目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”．

（1）根據已知條件完成下面的2×2列聯表，并據此資料判斷是否在犯錯誤的概率不超過的前提下認為"體育迷"與性別有關．

性別

非體育迷

體育迷

總計

男

女

10

55

總計

下面的臨界值表供參考：

0．15

0．10

0．05

0．25

0．010

0．005

0．001

k

2．072

2．706

3．841

5．024

6．635

7．879

10．828

(參考公式：，其中)

（2）將上述調查所得到的頻率視為概率，現在從該地區大量電視觀眾中，采用隨機抽樣方法每次抽取1名觀眾，抽取3次，記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數為X，若每次抽取的結果是相互獨立的，求X的分布列期望和方差．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】己知函數是定義在R上的周期為2的奇函數，時，，的值是____.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設函數(a，bR)的導函數為,已知，是的兩個不同的零點．

（1）證明：；

（2）當b＝0時，若對任意x＞0，不等式恒成立，求a的取值范圍；

（3）求關于x的方程的實根的個數．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系xOy中，點，直線.

（1）求以點A為圓心，以為半徑的圓與直線相交所得弦長；

（2）設圓的半徑為1，圓心在上.若圓上存在點，使，求圓心的橫坐標的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】近年來，移動支付已成為主要支付方式之一.為了解某校學生上個月、兩種移動支付方式的使用情況，從全校學生中隨機抽取了人，發現樣本中、兩種支付方式都不使用的有人，樣本中僅使用和僅使用的學生的支付金額分布情況如下：

支付金額（元）

支付方式

大于

僅使用

人

人

人

僅使用

人

人

人

（1）從樣本僅使用和僅使用的學生中各隨機抽取人，以表示這人中上個月支付金額大于元的人數，求的分布列和數學期望；

（2）已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有變化.現從樣本僅使用的學生中，隨機抽查人，發現他們本月的支付金額都大于元.根據抽查結果，能否認為樣本僅使用的學生中本月支付金額大于元的人數有變化？說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

在平面直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數，），以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程是.

（1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；

（2）已知直線與曲線交于兩點，且，求實數的值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數，其中均為實數， 為自然對數的底數．

（I）求函數的極值；

（II）設，若對任意的，

恒成立，求實數的最小值．

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