Question

（安徽卷理）（本小題滿分13分）     

點在橢圓上，直線與直線垂直，O為坐標原點，直線OP的傾斜角為，直線的傾斜角為.

（I）證明: 點是橢圓與直線的唯一交點；         

（II）證明:構成等比數列.

Answer 1

如下

解析:

證明 （I）（方法一）由得代入橢圓,

得.

將代入上式,得從而

因此,方程組有唯一解,即直線與橢圓有唯一交點P.          

(方法二)顯然P是橢圓與的交點，若Q是橢圓與的交點，代入的方程，得

即故P與Q重合。

（方法三）在第一象限內，由可得

橢圓在點P處的切線斜率

切線方程為即。

因此，就是橢圓在點P處的切線。     

根據橢圓切線的性質，P是橢圓與直線的唯一交點。

（II）的斜率為的斜率為

由此得構成等比數列。