Question

【題目】已知函數f（x）＝log2x的定義域是[2，16]．設g（x）＝f（2x）﹣[f（x）]2．

（1）求函數g（x）的解析式及定義域；

（2）求函數g（x）的最值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）最小值，最大值.

【解析】

（1）將f（x）的解析式代入g（x）＝f（2x）﹣[f（x）]2中，整理可得到g（x）的解析式，利用f（x）的定義域可以得到g（x）的定義域；（2）通過換元法，利用二次函數單調性可以求出最值。

（1）由題意可得

則，且，

進一步得：，定義域為.

（2）令t＝log2x，則t∈[1，3]，

函數轉化為h（t）＝﹣t2+t+1，t∈[1，3]，

由二次函數性質，得h（t）在[1，3]遞減

所以h（t）的值域為[h（3），h（1）]，即[﹣5，1]，

所以當x＝8時，t=3，g（x）有最小值﹣5，

當x＝2時，t=1，g（x）有最大值1．