Question

在平面直角坐標系xOy中，直線l：x＋y＋2＝0在矩陣M＝對應的變換作用下得到直線m：x－y－4＝0，求實數a、b的值．

Answer 1

a＝2，b＝3.

(解法1)在直線l：x＋y＋2＝0上取兩點A(－2，0)，B(0，－2)，A、B在矩陣M對應的變換作用下分別對應于點A′、B′，因為
＝，所以A′的坐標為(－2，－2b)；
＝，所以B′的坐標為(－2a，－8)．由題意A′、B′在直線m：x－y－4＝0上，所以解得a＝2，b＝3.
(解法2)設直線l：x＋y＋2＝0上任意一點(x，y)在矩陣M對應的變換作用下對應于點(x′，y′)．因為＝，所以x′＝x＋ay，y′＝bx＋4y.因為(x′，y′)在直線m上，所以(x＋ay)－(bx＋4y)－4＝0，即(1－b)x＋(a－4)y－4＝0.
又點(x，y)在直線x＋y＋2＝0上，所以，解得a＝2，b＝3