Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，為的中點，交于點，為的重心.

（1）求證：平面；

（2）若，點在線段上，且，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）

【解析】

(1)根據題意先證明 ，結合線面平行的判定定理即可得到結果；(2) 分別以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標系.求出平面與平面的法向量，代入公式即可得到二面角的余弦值.

（1）證明：因為，所以，

因為為中點，所以，

連接并延長，交于，連接，

因為為的重心，

所以為的中點，且，

所以，

因為平面，平面，

所以平面.

（2）分別以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標系.

設，則，，，，

因為，所以，

因為為的重心，所以

設平面的法向量，，，

則，所以，

取，則，，

所以.

設平面的法向量，，

則，所以，

則，取，則，

所以.

所以

由圖可知，該二面角為鈍角，

所以二面角的余弦值為.