Question

【題目】數列中，，當時，的前項和滿足

（1）求的表達式；

（2）設，數列的前項和為，求；

（3）是否存在正整數，使得成等比數列？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）存在，使得成等比數列．

【解析】

（1）根據與的關系即可找出與的關系，構造等差數列， 即可求出的表達式；

（2）將的表達式代入求得，再根據裂項相消法求出，化簡可得 ，由數列極限的運算法則即可求出；

（3）假設存在，根據成等比數列得到，看是否能解出符合的解即可判斷．

（1）當時，，代入，化簡可得，

，所以數列為等差數列，即有，

故．

（2）由（1）知，，所以，

，

故．

（3）假設存在，根據成等比數列得到，即，

化簡得，，所以，又因為，解得

，而，，故，代入，解得．

綜上，存在，使得成等比數列．