Question

【題目】已知是關于的方程組的解.

（1）求證：；

（2）設分別為三邊長，試判斷的形狀，并說明理由；

（3）設為不全相等的實數，試判斷是“”的 條件，并證明.①充分非必要；②必要非充分；③充分且必要；④非充分非必要.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）等邊，見解析（3）④，見解析

【解析】

（1）將行列式的前兩列加到第三列上即可得出結論；

（2）由方程組有非零解得出0，即0，將行列式展開化簡即可得出a＝b＝c；

（3）利用（1），（2）的結論即可答案．

（1）證明：將行列式的前兩列加到第三列上，

得：（a+b+c）．

（2）∵z0＝1，∴方程組有非零解，

∴0，由（1）可知（a+b+c）0．

∵a、b、c分別為△ABC三邊長，∴a+b+c≠0，

∴0，即a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝0，

∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝0，即（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0，

∴a＝b＝c，

∴△ABC是等邊三角形．

（3）若a+b+c＝0，顯然（0，0，0）是方程組的一組解，即x02+y02+z02＝0，

∴a+b+c＝0”不是“x02+y02+z02＞0”的充分條件；

若x02+y02+z02＞0，則方程組有非零解，

∴（a+b+c）0．

∴a+b+c＝0或0．

由（2）可知a+b+c＝0或a＝b＝c．

∴a+b+c＝0”不是“x02+y02+z02＞0”的必要條件．

故答案為④．