Question

【題目】已知函數.

（1）若，分析的單調性.

（2）若對，都有恒成立，求的取值范圍；

（3）證明：對任意正整數均成立，其中為自然對數的底數.

Answer 1

【答案】（1）單調增區間為，無減區間；（2）；（3）證明見解析

【解析】

(1)直接對函數求導,利用導數研究其單調性即可;

(2)對求導后,再根據的取值進行分情況討論即可;

(3)題目可變形為證明不等式恒成立,又由(1)可得在恒成立,則令,即有,據此即可推出結論.

(1),,,,

故在上恒成立,

所以的單調增區間為,無減區間.

(2).

∵,∴,

故:①當時,,在上單調遞減,

而,∴,不符合題意;

②當時,即,在上單調遞增,

而,∴符合題意;

③當時,,,在上單調遞減,

而,∴此時,不符合題意;

綜上所述,的取值范圍為.

(3)證明:要證明,

等價于證明,

由(1)可得在恒成立,

令,,則,

∴,

∴

∴成立,

∴成立.