【題目】已知函數.
(1)若,分析
的單調性.
(2)若對,都有
恒成立,求
的取值范圍;
(3)證明:對任意正整數
均成立,其中
為自然對數的底數.
【答案】(1)單調增區間為,無減區間;(2)
;(3)證明見解析
【解析】
(1)直接對函數求導,利用導數研究其單調性即可;
(2)對求導后,再根據
的取值進行分情況討論即可;
(3)題目可變形為證明不等式恒成立,又由(1)可得
在
恒成立,則令
,即有
,據此即可推出結論.
(1),
,
,
,
故在
上恒成立,
所以的單調增區間為
,無減區間.
(2).
∵,∴
,
故:①當時,
,
在
上單調遞減,
而,∴
,不符合題意;
②當時,即
,
在
上單調遞增,
而,∴符合題意;
③當時,
,
,
在
上單調遞減,
而,∴此時
,不符合題意;
綜上所述,的取值范圍為
.
(3)證明:要證明,
等價于證明,
由(1)可得在
恒成立,
令,
,則
,
∴,
∴
∴成立,
∴成立.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知函數,
(1)當時,求函數
在
處的切線方程;
(2)若對任意的,都有
恒成立,求a的取值范圍;
(3)函數的圖像上是否存在兩點
,
且
,使得直線AB的斜率k滿足:
?若存在,求出
與
之間的關系;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,曲線
的參數方程是
(
為參數),曲線
的直角坐標方程為
,將曲線
上的點向下平移1個單位,然后橫坐標伸長為原來的2倍,縱坐標不變,得到曲線
.
(1)求曲線和曲線
的直角坐標方程;
(2)若曲線和曲線
相交于
兩點,求三角形
的面積.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:
經過兩點
,
.
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)過橢圓的右焦點的直線
交橢圓
于
,
兩點,且直線
與以線段
為直徑的圓交于另一點
(異于點
),若
,求直線
的斜率.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】百年雙中的校訓是“仁”、“智”、“雅”、“和”.在2019年5月18日的高三趣味運動會中有這樣的一個小游戲.袋子中有大小、形狀完全相同的四個小球,分別寫有“仁”、“智”、“雅”、“和”四個字,有放回地從中任意摸出一個小球,直到“仁”、“智”兩個字都摸到就停止摸球.小明同學用隨機模擬的方法恰好在第三次停止摸球的概率.利用電腦隨機產生1到4之間(含1和4)取整數值的隨機數,分別用1,2,3,4代表“仁”、“智”、“雅”、“和”這四個字,以每三個隨機數為一組,表示摸球三次的結果,經隨機模擬產生了以下20組隨機數:
141 432 341 342 234 142 243 331 112 322
342 241 244 431 233 214 344 142 134 412
由此可以估計,恰好第三次就停止摸球的概率為( )
A.B.
C.
D.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某農場計劃設計建造一條2000米長的水渠,其橫斷面如圖所示.其中,底部是半徑為1米的圓弧,上部是有一定傾角的線段
與
,渠深
為
米,且圓弧
的圓心為O在
上,
,
,
,
.據測算,水渠底部曲面每平方米的造價為
百元,上部矩形壁面每平方米的造價為1百元,其他費用忽略不計.設
,
.
(1)試用表示水渠建造的總費用
(單位:百元);
(2)試確定的值,使得建造總費用最低.
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