Question

設函數（1）當時，求的最大值；

(2)令，以其圖像上任意一點為切點的切線的斜率恒成立，求實數的取值范圍；(3)當時，方程有唯一實數解，求正數的值.

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)   （Ⅲ）

解析:

（Ⅰ）依題意，知的定義域為………(1分)

        當時，

        ……（2分）

        令解得. 當時，，此時單調遞增；

        當時，，此時單調遞減；…………………（3分）

        所以的極大值為此即為最大值.………………（4分）

 （Ⅱ） 所以,在上恒成立，…（6分）

       所以………………………………（7分）

       當時，取得最大值，所以……………（9分）

（Ⅲ）因為方程有唯一實數解，所以有唯一實數解，設則 令,得  因為所以（舍去），…………（10分）

當時，在單調遞減，

當時，在單調遞增，

當時，取最小值…………（11分）

因為有唯一解，所以.則即

 所以

 因為所以   （*）…（12分）

 設函數

 因為當時，是增函數，所以至多有一解.……（13分）

因為所以方程（*）的解為，即解得………（14分）