Question

【題目】已知四棱錐中，底面為直角梯形，平面，且，，.

（1）求證：平面平面；

（2）若與平面所成的角為，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）證明：取的中點，連接，，.根據平面幾何知識和線面垂直的判定可證得平面，再證得，可證明平面平面.

（2）由線面角的定義可得為與平面所成的角，再以點為坐標原點，分別以，，所在直線為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，求得平面和平面的法向量，由二面角的向量求解方法可求得二面角的余弦值.

解：（1）證明：取的中點，連接，，.

∵，∴.

又∵，，∴四邊形為正方形，則.

∵平面，平面，∴.

∵，∴平面.

∵，，∴四邊形為平行四邊形，∴，

∴平面.又平面，

∴平面平面.

（2）∵平面，∴為與平面所成的角，

即，則.

設，則，，.

以點為坐標原點，分別以，，所在直線為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，.

∵平面，∴平面的一個法向量.

設平面的法向量，∵，，

則，取，則.

設二面角的平面角為，∴.

由圖可知二面角為銳角，故二面角的余弦值為.