Question

【題目】如圖，梯形中，，平面平面，.

（1）求證：平面平面；

（2）若，求與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)見解析.

（2）.

【解析】分析：（1）由平面⊥平面及得⊥平面，從而可證得面面垂直；

（2）設，由已知證得平面，因此以為坐標軸建立空間直角坐標系，寫出各點坐標，求出平面的法向量及直線的方向向量，由向量的夾角與線面角的關系得結論.

詳解：（1）證明：∵平面⊥平面，平面∩平面=，

平面，，

∴⊥平面.

又平面,∴平面⊥平面.

（2）設，∵四邊形為等腰梯形，⊥，=2=，

∴ ，，

∵且，∴四邊形為平行四邊形，

∴，且，

又∵⊥平面，∴⊥平面.

以為原點，向量的方向分別為x軸，y軸， z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，，

，，

設平面DFC的一個法向量為，

有，即，不妨設，得.

取，

于是.

設與平面所成角為，則．

∴與平面所成角的正弦值為．