Question

【題目】已知橢圓C的對稱中心為原點O，焦點在x軸上，左，右焦點分別為F1，F2，上頂點和右頂點分別為B，A，線段AB的中點為D，且，△AOB的面積為.

(1)求橢圓C的方程；

(2)過F1的直線l與橢圓C相交于M，N兩點，若△MF2N的面積為，求以F2為圓心且與直線l相切的圓的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）(x－2)2＋y2＝8.

【解析】試題分析：（1）求橢圓方程關鍵是求方程中的，題中有兩個已知條件，由用數學式子翻譯出來聯立方程組可解得；（2）先考慮當直線垂直于軸時是否滿足題意，如滿足，求出相應圓方程，如不滿足，則舍去，當直線斜率存在時，可設方程為，代入橢圓方程，由橢圓中的弦長公式求出弦長，再由點到直線距離公式求出到直線的距離，利用已知三角形面積求得，從而可得所求圓方程．

試題解析：(1)設橢圓方程為 (a＞b＞0)．由已知得A(a,0)，B(0，b)，D，

所以kOD·kAB＝，

即a2＝2b2，①

又S△AOB＝，所以，②

由①②解得a2＝8，b2＝4，

所以橢圓方程為.

(2)①當直線l⊥x軸時，易得M(－2， )，N(－2， )，△MF2N的面積為，不合題意．

②當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為y＝k(x＋2)，代入橢圓方程得

(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－8＝0.

顯然有Δ＞0，設M(x1，y1)，N(x2，y2)，

則x1＋x2＝，x1x2＝，

所以MN＝

＝，

化簡得MN＝.

又圓的半徑，

所以MN·r

＝×·

＝，

化簡得k4＋k2－2＝0，解得k＝±1，

所以r＝，

所以所求圓的方程為(x－2)2＋y2＝8.