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(16分)已知函數是自然對數的底數).

(1)若曲線處的切線也是拋物線的切線,求的值;

(2)若對于任意恒成立,試確定實數的取值范圍;

(3)當時,是否存在,使曲線在點處的切線斜率與上的最小值相等?若存在,求符合條件的的個數;若不存在,請說明理由.

 

解:(1),所以在處的切線為

即:                          ………………………………2分

聯立,消去,

知,.        ………………………………4分

(2)

①當時,上單調遞增,且當時,,

,故不恒成立,所以不合題意 ;………………6分

②當時,恒成立,所以符合題意;

③當時令,得, 當時,,

時,,故上是單調遞減,在上是單調遞增, 所以,

綜上:.                 ………………………………10分

(3)當時,由(2)知

,則,

假設存在實數,使曲線在點處的切線斜率與上的最小值相等,即為方程的解,………………………………13分

得:,因為, 所以.

,則

,當,所以上單調遞減,在上單調遞增,,故方程 有唯一解為1,

所以存在符合條件的,且僅有一個.                ………………………………16分

練習冊系列答案
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(1)求的單調區間;

(2)當時,若方程在區間上有兩個不同的實根,求證:

。

 

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(本題10分)

已知函數(是自然對數的底數,).

 (I)證明:對,不等式恒成立;

 (II)數列的前項和為,求證:

 

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