(16分)已知函數是自然對數的底數).
(1)若曲線在
處的切線也是拋物線
的切線,求
的值;
(2)若對于任意恒成立,試確定實數
的取值范圍;
(3)當時,是否存在
,使曲線
在點
處的切線斜率與
在
上的最小值相等?若存在,求符合條件的
的個數;若不存在,請說明理由.
解:(1),所以在
處的切線為
即: ………………………………2分
與聯立,消去
得
,
由知,
或
. ………………………………4分
(2)
①當時,
在
上單調遞增,且當
時,
,
,故
不恒成立,所以
不合題意 ;………………6分
②當時,
對
恒成立,所以
符合題意;
③當時令
,得
, 當
時,
,
當時,
,故
在
上是單調遞減,在
上是單調遞增, 所以
又
,
,
綜上:. ………………………………10分
(3)當時,由(2)知
,
設,則
,
假設存在實數,使曲線
在點
處的切線斜率與
在
上的最小值相等,
即為方程的解,………………………………13分
令得:
,因為
, 所以
.
令,則
,
當是
,當
時
,所以
在
上單調遞減,在
上單調遞增,
,故方程
有唯一解為1,
所以存在符合條件的,且僅有一個
. ………………………………16分
科目:高中數學 來源:2010-2011年東北師大附中高二下學期期中考試文科數學 題型:解答題
(本題10分)
已知函數(
是自然對數的底數,
).
(I)證明:對,不等式
恒成立;
(II)數列的前
項和為
,求證:
.
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科目:高中數學 來源:2010-2011學年甘肅省天水市高三上學期第一階段性考試理科數學卷 題型:解答題
(本題滿分12分)
已知函數(
是自然對數的底數).
(1)證明:對任意的實數,不等式
恒成立;
(2)數列的前
項和為
,求證:
.
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源:2010-2011學年安徽省名校高三第一次聯考數學試理卷 題型:解答題
(13分)已知函數是自然對數的底)
(1)求的單調區間;
(2)當時,若方程
在區間
上有兩個不同的實根,求證:
。
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源:2010-2011年東北師大附中高二下學期期中考試文科數學 題型:解答題
(本題10分)
已知函數(
是自然對數的底數,
).
(I)證明:對,不等式
恒成立;
(II)數列的前
項和為
,求證:
.
查看答案和解析>>
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