Question

【題目】設函數f（x）是定義在（﹣∞，+∞）上的增函數，實數a使得f（1﹣ax﹣x2）＜f（2﹣a）對于任意x∈[0，1]都成立，則實數a的取值范圍是（ ）
A.（﹣∞，1）
B.[﹣2，0]
C.（﹣2﹣2 ，﹣2+2 ）
D.[0，1]

Answer 1

【答案】A
【解析】解：法一：由條件得1﹣ax﹣x2＜2﹣a對于x∈[0，1]恒成立

令g（x）=x2+ax﹣a+1，只需g（x）在[0，1]上的最小值大于0即可．

g（x）=x2+ax﹣a+1=（x+ ）2﹣ ﹣a+1．

①當﹣ ＜0，即a＞0時，g（x）min=g（0）=1﹣a＞0，∴a＜1，故0＜a＜1；

②當0≤﹣ ≤1，即﹣2≤a≤0時，g（x）min=g（﹣ ）=﹣ ﹣a+1＞0，∴﹣2﹣2 ＜a＜﹣2+2 ，故﹣2≤a≤0；

③當﹣ ＞1，即a＜﹣2時，g（x）min=g（1）=2＞0，滿足，故a＜﹣2．

綜上a＜1．

法二：由1﹣ax﹣x2＜2﹣a得（1﹣x）a＜x2+1，

∵x∈[0，1]，∴1﹣x≥0，

∴①當x=1時，0＜2恒成立，此時a∈R；

②當x∈[0，1）時，a＜ 恒成立．

求當x∈[0，1）時，函數y= 的最小值．

令t=1﹣x（t∈（0，1]），則y= = =t+ ﹣2，

而函數y=t+ ﹣2是（0，1]上的減函數，所以當且僅當t=1，即x=0時，ymin=1．

故要使不等式在[0，1）上恒成立，只需a＜1，

由①②得a＜1．

故選：A

解法一：由條件得1﹣ax﹣x2＜2﹣a對于x∈[0，1]恒成立，令g（x）=x2+ax﹣a+1，只需g（x）在[0，1]上的最小值大于0即可，分類討論，求最值即可求出實數a的取值范圍；

解法二：由1﹣ax﹣x2＜2﹣a，得（1﹣x）a＜x2+1，對x討論，再分離參數，求最值，即可求出實數a的取值范圍．