Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側面ACC1A1與側面CBB1C1都是菱形，∠ACC1=∠CC1B1=60°，AC=2 ．
（1）求證：AB1⊥CC1；
（2）若AB1=3 ，A1C1的中點為D1 ， 求二面角C﹣AB1﹣D1的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結AC1，則△ACC1，△B1C1C都是正三角形，

取CC1中點O，連結OA，OB1，

則CC1⊥OA，CC1⊥OB1，

∵OA∩OB1=O，∴CC1⊥平面OAB1，

∵AB1平面OAB1，∴CC1⊥AB1

（2）解：由（1）知OA=OB1=3，

又AB1=3 ，∴OA2+OB12=AB12，

∴OA⊥OB1，OA⊥平面B1C1C，

如圖，分別以OB1，OC1，OA為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，

則C（0，﹣ ，0），B1（3，0，0），A（0，0，3），C1（0， ，0），A1（0，2 ，3），D1（0， ， ），

設平面CAB1的法向量 =（x，y，z），

∵ =（3，0，﹣3）， =（1，﹣ ，1），

∴ ，取x=1，得 =（ ），

設平面AB1D1的法向量 =（a，b，c），

∵ =（0， ，﹣ ）， =（﹣3， ， ），

∴ ，取b=1，得 =（ ），

∴cos＜ ＞= = = ，

由圖知二面角C﹣AB1﹣D1的平面角為鈍角，

∴二面角C﹣AB1﹣D1的余弦值為﹣ ．

【解析】（1）連結AC1 ， 則△ACC1 ， △B1C1C都是正三角形，取CC1中點O，連結OA，OB1 ， 則CC1⊥OA，CC1⊥OB1 ， 由此能證明CC1⊥AB1 ． （2）分別以OB1 ， OC1 ， OA為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角C﹣AB1﹣D1的余弦值．
【考點精析】掌握空間中直線與直線之間的位置關系是解答本題的根本，需要知道相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點．