Question

【題目】已知函數f（x）=2x3+3ax2+3bx+8在x=1及x=2處取得極值．
（1）求a、b的值；
（2）求f（x）的單調區間．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數f（x）=2x3+3ax2+3bx+8，

∴f′（x）=6x2+6ax+3b，

∵f（x）在x=1及x=2處取得極值，

∴ ，

解得a=﹣3，b=4

（2）解：∵a=﹣3，b=4，

∴f′（x）=6x2﹣18x+12，

由f′（x）=6x2﹣18x+12＞0，得x＞2，或x＜1；

由f′（x）=6x2﹣18x+12＜0，得1＜x＜2．

∴f（x）的單調增區間為（﹣∞，1），（2，+∞），f（x）的單調減區間為（1，2）

【解析】（1）由函數f（x）=2x3+3ax2+3bx+8，知f′（x）=6x2+6ax+3b，再由f（x）在x=1及x=2處取得極值，能求出a、b的值．（2）由（1）知f′（x）=6x2﹣18x+12，由f′（x）=6x2﹣18x+12＞0，得x＞2，或x＜1；由f′（x）=6x2﹣18x+12＜0，得1＜x＜2．由此能求出f（x）的單調區間．
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性和函數的極值，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；極值反映的是函數在某一點附近的大小情況才能得出正確答案．