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已知函數
(1)證明函數y=f(x)的圖象關于點(a,-1)成中心對稱圖形;
(2)當x∈[a+1,a+2]時,求證:f(x)∈;
(3)我們利用函數y=f(x)構造一個數列{xn},方法如下:對于給定的定義域中的x1,令x2=f(x1),x3=f(x2),…,xn=f(xn-1),…在上述構造數列的過程中,如果xi(i=2,3,4,…)在定義域中,構造數列的過程將繼續下去;如果xi不在定義域中,則構造數列的過程停止.
(i)如果可以用上述方法構造出一個常數列{xn},求實數a的取值范圍;
(ii)如果取定義域中任一值作為x1,都可以用上述方法構造出一個無窮數列{xn},求實數a的值
【答案】分析:(1)設出P為函數上任意一點,然后將P的坐標代入已知函數,寫出P關于(a,-1)的對稱點P'(2a-x0,-2-y0).然后代入f(x)進行驗證關于(a,-1)成中心對稱圖形.
(2)根據(1)的結論,把f(x)代入題目,然后驗證即可證明
(3)(i)根據題意,把f(x)=x有解轉化為△>0或△=0兩種情況,并進行分析.
    (ii)出x≠a時,(1+a)x=a2+a-1無解,此時即可求出a的值.
解答:解:(1)設P(xo,yo)是函數y=f(x)圖象上一點,則yo=
點P關于(a,-1)的對稱點P'(2a-x0,-2-y0).

∴-2-y0=f(2a-x0).即P′點在函數y=f(x)的圖象上.
所以,函數y=f(x)的圖象關于點(a,-1)成中心對稱圖形.
又x∈[a+1,a+2],∴(x-a-1)(x-a-2)≤0.2(a-x)2>0,


(3)(i)根據題意,只需x≠a時,f(x)=x有解.有解,
即x2+(1-a)x+1-a=0有不等于a的解
.∴①△>0或②△=0并且x≠a,
①由△>0得a<-3或a>1,②由△=0得a=-3或a=1,
此時,x分別為-2或0.符合題意.綜上,a≤-3或a≥1.
(ii)根據題意,知:x≠a時,無解,
即x≠a時,(1+a)x=a2+a-1無解,由于x=a不是方程(1+a)x=a2+a-1的解,
所以,對于任意x∈R.(1+a)x=a2+a-1無解.∴a=-1.
點評:本題考查函數模型的選擇與應用,通過對實際問題的分析,構造數學模型從而解決問題.本題需要把點P關于(a,-1)的對稱點P'(2a-x0,-2-y0)代入函數.進行化簡.并注明取值范圍.需要對知識熟練的掌握并應用,屬于基礎題.
練習冊系列答案
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