【題目】在三棱柱
中，
，
，
，且
.
（1）求證：平面
平面
；
（2）設二面角
的大小為
，求
的值.
【答案】（1）證明見解析；（2）
.
【解析】
（1）要證明平面
平面
，只需證明
平面即可；
（2）取
的中點D，連接BD，以B為原點，以
，
，
的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標系，分別計算平面
的法向量為
與平面
的法向量為
，利用夾角公式
計算即可.
（1）在
中，
，
所以
，即
.
因為
，
，
，
所以
.
所以
，即
.
又
，所以平面.
又
平面，所以平面平面.
（2）由題意知，四邊形為菱形，且
，
則
為正三角形，
取的中點D，連接BD，則
.
以B為原點，以，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，
建立空間直角坐標系
，則
，
，
，
，
.
設平面的法向量為
，
且
，
.
由
得
取
.
由四邊形為菱形，得
；
又平面，所以
；
又
，所以
平面，
所以平面的法向量為
.
所以
.
故
.
培優好卷單元加期末卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）＝2x－1，
（a∈R），若對任意x1∈[1，＋∞），總存在x2∈R，使f（x1）＝g（x2），則實數a的取值范圍是（）
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】定義：若函數
在區間
上的值域為，則稱區間是函數的“完美區間”，另外，定義區間的“復區間長度”為
，已知函數
，則（ ）
A.
是
的一個“完美區間”
B.
是的一個“完美區間”
C.的所有“完美區間”的“復區間長度”的和為
D.的所有“完美區間”的“復區間長度”的和為
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某校倡導為特困學生募捐，要求在自動購水機處每購買一瓶礦泉水，便自覺向捐款箱中至少投入一元錢．現統計了連續5天的售出礦泉水箱數和收入情況，列表如下：
售出水量 | 7 | 6 | 6 | 5 | 6 |
收入 | 165 | 142 | 148 | 125 | 150 |
學校計劃將捐款以獎學金的形式獎勵給品學兼優的特困生，規定：特困生綜合考核前20名，獲一等獎學金500元；綜合考核21-50名，獲二等獎學金300元；綜合考核50名以后的不獲得獎學金．
（1）若
與
成線性相關，則某天售出9箱水時，預計收入為多少元？
（2）假設甲、乙、丙三名學生均獲獎，且各自獲一等獎和二等獎的可能性相同，求三人獲得獎學金之和不超過1000元的概率．
附：回歸方程
，其中
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在底面為菱形的四棱錐P-ABCD中，平面
平面ABCD，
為等腰直角三角形，
，
，點E，F分別為BC，PD的中點，直線PC與平面AEF交于點Q.
（1）若平面
平面
，求證：
.
（2）求直線AQ與平面PCD所成角的正弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
，a∈R.
（1）若函數f（x）在x＝1處的切線為y＝2x+b，求a，b的值；
（2）記g（x）＝f（x）+ax，若函數g（x）在區間（0，
）上有最小值，求實數a的取值范圍；
（3）當a＝0時，關于x的方程f（x）＝bx2有兩個不相等的實數根，求實數b的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的中心為原點
，左焦點為
，離心率為
，不與坐標軸垂直的直線
與橢圓
交于
兩點.
（1）若
為線段
的中點，求直線的方程.
（2）求點
是直線
上一點，點
在橢圓上，且滿足
，設直線
與直線
的斜率分別為
，問：
是否為定值？若是，請求出的值；若不是，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某單位為促進職工業務技能提升，對該單位120名職工進行一次業務技能測試，測試項目共5項.現從中隨機抽取了10名職工的測試結果，將它們編號后得到它們的統計結果如下表（表1）所示（“√”表示測試合格，“×”表示測試不合格）.
表1：
編號\測試項目 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
1 | × | √ | √ | √ | √ |
2 | √ | √ | √ | √ | × |
3 | √ | √ | √ | √ | × |
4 | √ | √ | √ | × | × |
5 | √ | √ | √ | √ | √ |
6 | √ | × | × | √ | × |
7 | × | √ | √ | √ | × |
8 | √ | × | × | × | × |
9 | √ | √ | × | × | × |
10 | √ | √ | √ | √ | × |
規定：每項測試合格得5分，不合格得0分.
（1）以抽取的這10名職工合格項的項數的頻率代替每名職工合格項的項數的概率.
①設抽取的這10名職工中，每名職工測試合格的項數為
，根據上面的測試結果統計表，列出的分布列，并估計這120名職工的平均得分；
②假設各名職工的各項測試結果相互獨立，某科室有5名職工，求這5名職工中至少有4人得分不少于20分的概率；
（2）已知在測試中，測試難度的計算公式為
，其中
為第
項測試難度，
為第項合格的人數，
為參加測試的總人數.已知抽取的這10名職工每項測試合格人數及相應的實測難度如下表（表2）：
表2：
測試項目 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
實測合格人數 | 8 | 8 | 7 | 7 | 2 |
定義統計量
，其中為第項的實測難度，
為第項的預測難度（
）.規定：若
，則稱該次測試的難度預測合理，否則為不合理，測試前，預估了每個預測項目的難度，如下表（表3）所示：
表3：
測試項目 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
預測前預估難度 | 0.9 | 0.8 | 0.7 | 0.6 | 0.4 |
判斷本次測試的難度預估是否合理.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】圓錐
（其中
為頂點，
為底面圓心）的側面積與底面積的比是
，則圓錐與它外接球（即頂點在球面上且底面圓周也在球面上）的體積比為（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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