Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面平面，是邊長為的等邊三角形，，，，點為的中點.

（1）求證：平面；

（2）求證：；

（3）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）取中點，連結，，可證明出，，得到為平行四邊形，通過，證明出平面；

（2）取中點，連結，，由平面平面，得到平面，從而以為原點，建立空間直角坐標系，得到，的坐標，然后通過，證明；

（3）證明出是平面的法向量，求出平面的法向量，通過法向量的夾角公式，得到二面角的余弦值.

（1）證明：取中點，連結，，

在等邊三角形中，且，

又因為，

所以，又因為，

所以，

所以為平行四邊形，

所以，

又因為平面，平面，

所以平面；

（2）證明：取中點，連結，，

因為三角形是等邊三角形

所以，，

因為四邊形滿足，，，

所以，，

又因為平面平面，平面平面，

平面，

所以平面，

以，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標系，

則，，，，

所以，

所以

所以；

（3）由（2）知，，

因為等邊三角形中，為的中點，所以，

平面，

所以平面，

所以是平面的法向量，

又，，

設平面的法向量為，

則，即，

令，得，

由，

又因為二面角為銳二面角，

所以二面角的余弦值為.