Question

（本題滿分12分）如圖，直線l：y＝x＋b與拋物線C：x²＝4y相切于點A.

(1)求實數b的值；
(2)求以點A為圓心，且與拋物線C的準線相切的圓的方程．

Answer 1

(1) b＝－1.(2) (x－2)²＋(y－1)²＝4.

解析試題分析：(1)由得x²－4x－4b＝0，(*)
因為直線l與拋物線C相切，
所以Δ＝(－4)²－4×(－4b)＝0，解得b＝－1. ……5分
(2)由(1)可知b＝－1，故方程(*)為x²－4x＋4＝0.
解得x＝2，代入x²＝4y，得y＝1，故點A(2,1)．
因為圓A與拋物線C的準線相切，所以圓A的半徑r就等于圓心A到拋物線的準線
y＝－1的距離，即r＝|1－(－1)|＝2， ……10分
所以圓A的方程為(x－2)²＋(y－1)²＝4. ……12分
考點：本題主要考查直線與拋物線的位置關系，直線與圓的位置關系。
點評：容易題，研究直線與拋物線只有一個公共點，除判別式為0，還要考慮直線與拋物線軸平行的情況，以免失解。