Question

【題目】如圖，三棱柱中，，.

（1）證明：；

（2）若，在線段上是否存在一點，使二面角的余弦值為？若存在，求的值，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）存在，

【解析】

（1）取的中點,連接,由題可得為等邊三角形,則,利用平行的傳遞性可得,則平面,進而,由三角形的性質即可得證；

（2）設,則,易得以為原點,分別為軸建立空間直角坐標系,設,由平面的法向量和平面的法向量,利用數量積求得夾角,進而求解即可.

（1）證明:取的中點,連接,

∵,,

∴為等邊三角形,∴,

又∵,,∴,

又,∴平面,

又平面,∴,

∵為中點,∴

（2）存在,

設,則,

∵,∴,又,∴,

以為原點,分別為軸建立空間直角坐標系,如圖所示,

則,

因為在線段上,設,

則,

設平面的法向量為,則由,即,

取,則,

易知平面的法向量為,

當,即時,二面角的平面角為,

則,解得或（舍）,

所以存在點滿足條件,這時