Question

【題目】如圖所示，四棱錐中，底面為菱形，底面，，，E為棱的中點，F為棱上的動點.

（1）求證：平面；

（2）若銳二面角的正弦值為，求點F的位置.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）點F為線段的中點

【解析】

(1)證明,即可.

(2) 以點A為坐標原點,所在直線分別為軸建立空間直角坐標系,設,進而利用空間向量求解銳二面角的正弦值關于的表達式,進而求得即可判斷.

（1）如下圖所示,由于四邊形是菱形,則,

又∵,∴是等邊三角形,∵E為的中點,∴,

∵,∴.

∵底面,平面,∴,

∵,平面,

∴平面；

（2）由（1）知,,且底面,以點A為坐標原點,所在直線分別為軸建立空間直角坐標系,

由則點,,

設,

則,

設平面的一個法向量為,

由,即,取,則,,則平面的一個法向量為,

同理可得平面的一個法向量為,

∵二面角的正弦值為

∴,解得.

因此,當點F為線段的中點時,二面角的正弦值為.