Question

已知：a為實數，函數f(x)=a(sinx+cosx)-sinxcosx，xR.

(Ⅰ)設t=sinx+cosx，求t的取值范圍；

(Ⅱ)當f(x)的最大值是3時，求a的值.

Answer 1

解：t=sinx+cosx=sin(x+)t的取值范圍是t[,]sinxcosx=

f(x)=a(sinx+cosx)-sinxcosx=(t-a)²+(a²+1)令g(t)=(t-a)²+(a²+1)

(1)α＜時g(t)的最大值為g()=a

依題意a=3,∴a=(滿足a＜)

(2)≤a≤時g(t)的最大值為g(a)=(a²+1)

依題意(a²+1)=3,所以,a=±,不滿足題意.

(3)＜a時,g(t)的最大值為g()=a依題意a=3,∴a=,滿足＜a.

由以上知:∴a=±.