Question

【題目】已知橢圓經過點,離心率為，點坐標原點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）過橢圓的左焦點任作一條不垂直于坐標軸的直線，交橢圓于兩點，記弦的中點為，過作的垂線交直線于點，證明：點在一條定直線上.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) .

【解析】試題分析：（1）根據已知列式，可求解.

(2) 聯立與得中點坐標，求得直線，再聯立方程組，可得，所以點在定直線上.

試題解析：(1)因為，所以，從而，橢圓的方程為.

(2)設，聯立與，可得，所以，設，則，所以，直線，聯立方程組，解得，所以點在定直線上.

點睛:定點、定值問題通常是通過設參數或取特殊值來確定“定點”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉化為代數式或三角問題，證明該式是恒定的. 定點、定值問題同證明問題類似，在求定點、定值之前已知該值的結果，因此求解時應設參數，運用推理，到最后必定參數統消，定點、定值顯現.