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【題目】如圖，三棱柱中，側面是菱形，.

（1）證明：；

（2）若，，，求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）連接交于點，連接，可證平面，得B1C⊥AO，B10=CO，進而可得AC=AB1；（2）先根據已知條件證明平面以為原點，所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系，求得平面的一個法向量，然后利用向量公式即可求得結果．

（1）連接交于點，連接，

∵四邊形是菱形，∴且為中點，

∵，，∴平面，

平面，∴，

為中點，為的垂直平分線，

∴.

（2）不妨設，則，，

∵，∴，，

又，，∴平面

（方法一）以為原點，所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系，

則，，，

設平面的一個法向量為，則

，

，設，

直線與平面所成角的正弦值，即直線與平面所成角的正弦值為

（方法二）設點到平面的距離為，

三棱錐的體積

三棱錐的體積

解，得

直線與平面所成角的正弦值，即直線與平面所成角的正弦值為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設雙曲線的兩支為(如圖)，正三角形PQR的三頂點位于此雙曲線上。

（1）求證：P、Q、R不能都在雙曲線的同一支上；

（2）設P(-1，-1)在上，Q、R在上。求頂點Q、R的坐標。

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【題目】選修4—4：坐標系與參數方程

已知曲線的參數方程為（為參數），以平面直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．

（Ⅰ）求曲線的直角坐標方程及曲線上的動點到坐標原點的距離的最大值；

（Ⅱ）若曲線與曲線相交于，兩點，且與軸相交于點，求的值．

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【題目】已知函數.

（1）若函數恰有一個零點，求實數的取值范圍；

（2）設關于的方程的兩個不等實根，求證：（其中為自然對數的底數）.

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【題目】某同學用“五點法”畫函數在某一個周期內的圖象時，列表并填入了部分數據，如下表：

0

π

2π

x

0

4

-4

0

（1）請將上表數據補充完整，填寫在答題卡上相應位置，并直接寫出函數f（x）的解析式；

（2）將圖象上所有點向左平行移動θ（）個單位長度，得到的圖象.若圖象的一個對稱中心為，求θ的最小值.

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【題目】給出下列命題：

①“數列為等比數列”是“數列為等比數列”的充分不必要條件；

②“”是“函數在區間上為增函數”的充要條件；

③“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件；

④設，，分別是三個內角，，所對的邊，若，，則“”是“”的必要不充分條件．其中，真命題的序號是________．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在中學生綜合素質評價某個維度的測評中，分優秀、合格、尚待改進三個等級進行學生互評.某校高一年級有男生500人，女生400人，為了了解性別對該維度測評結果的影響，采用分層抽樣方法從高一年級抽取了45名學生的測評結果，并作出頻數統計表如下：

表一：男生

男生

等級

優秀

合格

尚待改進

頻數

15

5

表二：女生

女生

等級

優秀

合格

尚待改進

頻數

15

3

（1）求,的值；

（2）從表二的非優秀學生中隨機抽取2人交談，求所選2人中恰有1人測評等級為合格的概率；

（3）由表中統計數據填寫列聯表，并判斷是否有90%的把握認為“測評結果優秀與性別有關”.

男生

女生

總計

優秀

非優秀

總計

45

參考公式：，其中.

參考數據：

0.01

0.05

0.01

2.706

3.841

6.635

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，直角梯形ABDC中，，，，，.

（1）若S是直角梯形ABDC所在平面外一點，畫出平面SBD和平面SAC的交線，并說明理由；

（2）直角梯形ABDC繞直線AC所在直線旋轉一周所得幾何體名稱是什么?并求出其體積.

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【題目】設復數與復平面上點對應.

（1）若是關于的一元二次方程的一個虛根，且，求實數的值；

（2）設復數滿足條件（其中、常數），當為奇數時，動點的軌跡為，當為偶數時，動點的軌跡為，且兩條曲線都經過點，求軌跡與的方程；

（3）在（2）的條件下，軌跡上存在點，使點與點的最小距離不小于，求實數的取值范圍.

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