Question

【題目】設雙曲線的兩支為(如圖)，正三角形PQR的三頂點位于此雙曲線上。

（1）求證：P、Q、R不能都在雙曲線的同一支上；

（2）設P(-1，-1)在上，Q、R在上。求頂點Q、R的坐標。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2），

【解析】

(1)用反證法.

假設正△PQR的三頂點P、Q、R位于同一支如上，其坐示分別的，不妨設0.則一定有.于是，

.

因此.

這說明△PQR是鈍角三角形，與△PQR為正三角形矛盾.故P、Q、R不能位于同一支上.

(2)設Q、R的坐標為，這時QR邊上的高線方程為.

它必過線段QR的中點，因此QR的中點坐標滿足方程(1)，

于是有.此即 ..

，上式方括號中的式子明顯大于0，則.故.

于是，Q的坐標為.而R的坐標為，這說明Q、R關于直線y=x對稱.

PQ、PR所在的直線分別為過P點與y=x交成30°角的相互對稱的兩條直線，易見其傾斜角分別為75°和15°.不妨設PQ的傾斜角為75°，這時它的方程為

即 .將其代入雙曲線方程，解得Q的坐標為，由對稱性知R的坐標為.