Question

【題目】已知函數，其中為自然對數的底數．

（1）求函數的極值；

（2）當時，關于的不等式恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）極小值為，無極大值；（2）．

【解析】

(1)求出函數的導數,解關于導函數的不等式,求出函數的單調區間,從而求出函數的極值即可;

(2)構造新函數，利用導數研究函數的單調性并結合零點存在性定理求解.

(1)由題可得函數的定義域為，，

令，可得；令，可得，

所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，

所以函數在處取得極小值，極小值為，無極大值．

（2）即，即，

因為當時，關于的不等式恒成立，

所以當時，．

令，，則，

設，易知函數在上單調遞增，

又，，

所以存在，使得，即，

所以當時，；當時，，

所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，

由可得，

所以，，，

由（1）知，函數在在上單調遞增，所以，，

所以，所以，

故實數的取值范圍為．