Question

【題目】[選修4-5：不等式選講]

已知函數．

(1)解不等式：；

(2)對任意，恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1);(2).

【解析】分析：（1）解法一：寫出分段函數的解析式，討論的范圍，求出分段函數不同自變量范圍的不等式的解，再求這些解的并集即可.

解法二：寫出分段函數的解析式，繪制函數圖象,計算函數與的交點坐標，根據函數圖象確定不等式的解.

解法三：根據絕對值在數軸上的幾何意義，確定不等式的解.

（2）將恒成立問題轉化成問題，確定后，解關于的一元二次不等式，即可求出實數的取值范圍．

解法一：根據三角不等式，確定函數最小值

解法二：根據函數圖象，確定函數最小值.

詳解：（1）解法一：

當時，，解得：；

當時，，解得：；

當時，，解得：，

所以不等式的解集為；

（1）解法二：

，兩個函數的圖象如圖所示：

由圖像可知，兩函數圖象的交點為

和，

所以不等式即的解集為

（注：如果作出函數的圖象，寫出的解集，可參照解法2的標準給分）

解法三：如圖，

設數軸上與對應的點分別是，那么兩點的距離是4，因此區間上的數都是原不等式的解。

先在數軸上找出與點的距離之和為的點，將點向左移動2個單位到點，這時有,

同理，將點向右移動2個單位到點，這時也有,

從數軸上可以看到，點與之間的任何點到點的距離之和都小于8, 點的左邊或點的右邊的任何點到點的距離之和都大于8，

所以，原不等式的解集是

（2）解法一：，

當時“”成立，

又任意，恒成立，

∴，即，

解得：，

∴的取值范圍為.

解法二：

作函數的圖象如圖：

由圖象可知，函數的最小值為4，

（注：如果第（1）問用解法2，可直接由（1）得最小值為4，不必重復說明）

又任意，恒成立，

∴，

即，

解得：，

∴的取值范圍為.