Question

【題目】已知函數.

（I）試判斷函數的單調性；

（Ⅱ）若函數在上有且僅有一個零點，

（i）求證：此零點是的極值點；

（ⅱ）求證：.

（本題可能會用到的數據：）

Answer 1

【答案】（I）見解析；（Ⅱ）（i）證明見解析；（ii）證明見解析.

【解析】

（Ⅰ）先求得導函數,然后對分類討論,即可得單調區間.

（Ⅱ）（i）先求得反函數,代入即可求得的解析式.求得,根據僅有一個零點,可知在單調遞增,通過檢驗與函數值的符號,可判斷零點所在區間為.通過判斷時,時,,即可知極小值點為.

（ⅱ）根據（i）由可解得.構造函數通過檢驗與可知,通過分析在單調遞增,可知當時, 成立,即證明.

（I）

時,恒成立

所以在單調遞增,沒有單調遞減區間.

時,解不等式可得：,

所以此時在單調遞減,在單調遞增.

綜上：時,在單調遞減,在單調遞增,

時,在單調遞增,沒有單調遞減區間.

（Ⅱ）（i）

則

函數在上有且僅有一個零點

在單調遞增

又因為

且

,使得

且時,時,

在單調遞減,單調遞增

在上有且僅有一個零點,所以此零點為極小值點

（ii）由（i）得,即,

解得,且.

設

,則在單調遞減.

因為

.

又在單調遞增,

,