Question

【題目】已知函數是奇函數（）.

（1）求實數的值；

（2）試判斷函數在上的單調性，并證明你的結論；

（3）若對任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）單調遞增，見解析（3）

【解析】

（1）根據函數是定義在上的奇函數，由求得的值.

（2）由（1）求得的解析式，利用單調性的定義，任取，計算，由此證得在上遞增.

（3）根據的單調性和奇偶性化簡不等式，得到對任意恒成立，利用一元二次不等式恒成立則其判別式為負數列不等式，解不等式求得的取值范圍.

（1）∵是奇函數在原點有定義：

∴，

∴；經驗證滿足題意

（2）在上單調遞增，證明如下：

設，則：

；

∵，

∴，；

∴；

∴是上的增函數；

（3）由（1）、（2）知，是上的增函數，且是奇函數；

∵，

∴；

∴；

即對任意恒成立；

只需；

解之得；

∴實數的取值范圍為.