Question

【題目】已知函數 ．
（1）若曲線y=f（x）在P（1，f（1））處的切線平行于直線y=﹣x+1，求函數y=f（x）的單調區間；
（2）若a＞0，且對任意x∈（0，2e]時，f（x）＞0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：直線y=﹣x+1的斜率為﹣1，

函數y=f（x）的導數為

所以f'（1）=﹣a+1=﹣1，

所以a=2

因為y=f（x）的定義域為（0，+∞），

又

當x∈（2，+∞）時，f'（x）＞0，f（x）為增函數，

當x∈（0，2）時，f'（x）＜0，f（x）為減函數，

綜上，函數f（x）的單調增區間是（2，+∞），單調減區間是（0，2）

（2）解：因為a＞0，且對任意x∈（0，2e]時，f（x）＞0恒成立，

即 對x∈（0，2e]恒成立，

即a＞x（1﹣lnx）對x∈（0，2e]恒成立

設g（x）=x（1﹣lnx）=x﹣xlnx，x∈（0，2e]，

所以g'（x）=1﹣lnx﹣1=lnx，

當x∈（0，1）時，g'（x）＞0，g（x）為增函數，

當x∈（1，2e]時，g'（x）＜0，g（x）為減函數，

所以當x=1時，函數g（x）在x∈（0，2e]上取得最大值

所以g（x）≤g（1）=1﹣ln1=1，

所以實數a的取值范圍（1，+∞）

【解析】（1）求出函數的導數，得到關于a的方程，求出a的值，求出函數的單調區間即可；（2）問題轉化為 對x∈（0，2e]恒成立，即a＞x（1﹣lnx）對x∈（0，2e]恒成立，設g（x）=x（1﹣lnx）=x﹣xlnx，x∈（0，2e]，根據函數的單調性證明即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數的最大(小)值與導數(求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值)．