Question

【題目】已知橢圓過點，離心率為，為坐標原點．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設為橢圓上的三點，與交于點，且，當的中點恰為點時，判斷的面積是否為常數，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）的面積是常數為，理由見解析.

【解析】

（1）由題a=再由離心率，求得c,再由，即可求得方程；（2）若點是橢圓的右頂點，求得的面積為，若點不是橢圓的左、右頂點，則設直線的方程為：，與橢圓聯立，由韋達定理得的坐標，弦長公式，點到線的距離公式，進而求出的面積為常數

（1）由已知易得，

∴，

故橢圓的標準方程為：.

（2）①若點是橢圓的右頂點（左頂點一樣），則，

∵，在線段上，

∴，此時軸，求得，

∴的面積等于.

②若點不是橢圓的左、右頂點，則設直線的方程為：，，，

由得，則，，

∴的中點的坐標為，

∴點的坐標為，將其代入橢圓方程，化簡得．

∴ ．

點到直線的距離，

∴的面積．

綜上可知，的面積為常數．