Question

【題目】已知.

（1）試求在上的最大值；

（2）已知在處的切線與軸平行，若存在，，使得，證明：.

Answer 1

【答案】（1）當時；當時；（2）證明見解析.

【解析】

（1）先求導數，然后對分類討論，判斷單調性，求解即可.

（2）由題意可知，，則，從而確定單調性，再根據的正負，確定其函數的大致圖像，從而確定有，要證，只需證，只需證明，只需證，構造函數，利用導數研究函數的單調性，證明不等式，即可.

（1），

當時，則對任意恒成立，即恒成立.

所以在單調遞增.

則的最大值為；

當時，令，即

當，即時，

當時，在上單調遞增.

當時，在上單調遞減，.

當即時，對任意恒成立，

即恒成立，所以在單調遞增.

則的最大值為；

綜上所述：當時；

當時.

（2）因為在處的切線與軸平行，

所以，則，即.

當時，，則在上單調遞增，

當時，，則在上單調遞減.

又因為時有；時有，

根據圖象可知，若，則有；

要證，只需證；

又因為，所以；

因為在上單調遞減，從而只需證明，

只需證

只需證

設，則.

由的單調性可知，.

則，即.

所以，即在上單調遞增.

所以.

從而不等式得證.