Question

【題目】如圖，在半徑為 ，圓心角為60°的扇形的弧上任取一點P，作扇形的內接矩形PNMQ，使點Q在OA上，點N，M在OB上，設矩形PNMQ的面積為y，∠POB=θ．

（1）將y表示成θ的函數關系式，并寫出定義域；
（2）求矩形PNMQ的面積取得最大值時 的值；
（3）求矩形PNMQ的面積y≥ 的概率．

Answer 1

【答案】
（1）解：在Rt△PON中，∠PNO=90°，∠POB=θ， ，

所以 ， ，

在Rt△QMO中，∠QMO=90°，∠QON=60°，QM=PN=

所以OM=

所以：MN=ON﹣OM=

所以y=

即：y=3sinθcosθ﹣ sin2θ，（ ）

（2）解：由（1）得y=3sinθcosθ﹣ sin2θ= ﹣

= ）﹣ =

∵θ∈（0， ）

∴

∴sin（ ）∈

∴ ，即 時，y的最大值為 ．

此時ON= cos = = ，則 =| || |cos = × = ．

（3）解：若矩形PNMQ的面積y≥ ，

則 ≥ ，

即 sin（ ）≥ ，

則sin（ ）≥ ，

∵

∴ ≤ ≤ ，

即 ≤θ≤ ，

則對應的概率P= =

【解析】（1）利用三角函數的關系，求出矩形的鄰邊，求出面積的表達式，化為一個角的一個三角函數的形式，根據θ的范圍確定函數的定義域．（2）利用三角函數的倍角公式以及輔助角公式將函數進行化簡，結合三角函數的最值性質求出矩形面積的最大值．以及利用向量數量積的定義進行求解即可．（3）根據幾何概型的概率公式求出矩形PNMQ的面積y≥ 時，對應的角θ的取值范圍，即可得到結論．
【考點精析】本題主要考查了幾何概型的相關知識點，需要掌握幾何概型的特點：1）試驗中所有可能出現的結果（基本事件）有無限多個；2）每個基本事件出現的可能性相等才能正確解答此題．