Question

【題目】定義在[﹣1，1]上的函數f（x）滿足：①對任意a，b∈[﹣1，1]，且a+b≠0，都有 ＞0成立；②f（x）在[﹣1，1]上是奇函數，且f（1）=1．
（1）求證：f（x）在[﹣1，1]上是單調遞增函數；
（2）解關于x不等式f（x）＜f（ x+1）；
（3）若f（x）≤m2﹣2am﹣2對所有的x∈[﹣1，1]及a∈[﹣1，1]恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：任取x1、x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2，

則f（x1）﹣f（x2）=f（x1）+f（﹣x2）

∵ ＞0，x1﹣x2＜0，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0．

則f（x）是[﹣1，1]上的增函數．

（2）解：若f（x）＜f（ x+1），則﹣1≤x＜ x+1≤1，

解得：x∈[﹣1，0]，

故不等式f（x）＜f（ x+1）的解集為[﹣1，0]；

（3）解：要使f（x）≤m2﹣2am﹣2對所有的x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，

只須f（x）max≤m2﹣2am﹣2，即1≤m2﹣2am﹣2對任意的a∈[﹣1，1]恒成立，

亦即m2﹣2am﹣3≥0對任意的a∈[﹣1，1]恒成立．

令g（a）=m2﹣2am﹣3，

只須 ，

解得m≤﹣3或m≥3．

【解析】（1）利用函數單調性的定義進行證明：在區間[﹣1，1]任取x1、x2 ， 且x1＜x2 ， 利用函數為奇函數的性質結合已知條件中的分式，可以證得f（x1）﹣f（x2）＜0，所以函數f（x）是[﹣1，1]上的增函數．（2）根據（1）中單調性，可得﹣1≤x＜ x+1≤1，解得答案；（3）根據函數f（x）≤m2﹣2am﹣2對所有的x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，說明f（x）的最大值1小于或等于右邊，因此先將右邊看作a的函數，m為參數系數，解不等式組，即可得出m的取值范圍．
【考點精析】通過靈活運用函數單調性的性質，掌握函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集即可以解答此題．