Question

【題目】如圖，在三棱柱中，側面為菱形，為的中點，為等腰直角三角形，，，且.

（1）證明：平面.

（2）求與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）要證明直線與平面垂直，需證明直線與平面內兩條相交直線都垂直，為此需探究圖中的垂線關系；

（2）由（1）建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，再根據公式求出所求角的正弦值．

（1）證明：因為為的中點，，所以，

連接，設，因為四邊形為菱形，為的中點，，

所以.又為等腰直角三角形，，

所以，

所以，則.

因為，所以平面.

（2）解：以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

設，則，，，

所以，.

設平面的法向量為，

則，即，

令，得.

設與平面所成角為，

因為，所以.

所以，即與平面所成角的正弦值為.