Question

【題目】選修4-5：不等式選講

已知函數

（1）討論函數的單調性；

（2）當時，正數滿足，證明： .

Answer 1

【答案】(1) 當時，在區間上單調遞增，當時，在和上單調遞增，在上單調遞減.

(2)證明見解析.

【解析】分析：（1）分析單調性首先確定定義域，然后求導得，再確定分子的符號即可得出單調性，此時二次函數的對稱軸未知所以可結合二次函數圖形進行分析討論；（2）因為當時，，由（1）可知在區間上單調遞增.又易知，且，不妨設，要證，只需證，只需證，即證，即證.構造函數，.分析函數單調性求出最值即可.

詳解：

（1）解：的定義域為，

，

令，.

①當時，，

所以對恒成立，則在區間上單調遞增.

②當或時，，令，得，.

（i）當時，，

所以對恒成立，則在區間上單調遞增.

（ii）當時，.

若，，函數單調遞增；

若，，函數單調遞減；

若，，函數單調遞增.

綜上所述：當時，在區間上單調遞增.當時，在和上單調遞增；在上單調遞減.

（2）證明：當時，，由（1）可知在區間上單調遞增.

又易知，且，不妨設，

要證，只需證，

只需證，即證，

即證.

構造函數，.

所以 ，，

.

當時，，所以函數在區間上單調遞增，

則.

所以得證，從而.